Inecuación y sus propiedades

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un juego de inecuaciones.Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Propiedades [editar]Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:


Tricotomía [editar]La propiedad de la tricotomía dicta que:

Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a < b
a = b
a > b

Simetría [editar]Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b:
Si a > b entonces b < a
Si a < b entonces b > a
>(mayor que)
<(menor que)

Adición y sustración [editar]Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
Si a < b; entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Multiplicación y división [editar]Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si c es positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Si c es positivo y a < b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a > b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a < b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.