Ejemplo por determinates

Método de determinantes

Ahora tenemos que aprender a calcular un determinante de 3x3 (3 renglones por 3 columnas).
Es muy sencillo, fíjate bien, lo explicaremos con un ejemplo.
Calcular el siguiente determinante

5 3 -2
2 -2 -4
3 -5 1

Primero se vuelve a escribir el determinante copiando los dos primeros renglones abajo del último renglón.

5 3 -2 5 3 -2
2 -2 -4 2 -2 -4
3 -5 1 = 3 -5 1
- - - - - - - -
5 3 -2
2 -2 -4

Después, se realizan los tres productos indicados hacia abajo desde el 1er número del 1er renglón y se restan los productos indicados hacia arriba empezando por el 1er número del último renglón.
= [(5)(-2)(1)+(2)(-5)(-2)+(3)(3)(-4)]-[(2)(3)(1)+(5)(-5)(-4)+(3)(-2)(-2)]
= [-10+20-36]-[6+100+12]=[-26]-[118]

=-26-118

=-144

Las fórmulas para encontrar el valor de las variables del sistema.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

son:

x=Dx / Ds;

y=Dy / Ds;

z=Dz / Ds;

donde:

Ds= a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3 Dx= d1b1c1

d2b2c2
d3b3c3

Dy= a1d1c1
a2d2c2
a3d3c3 Dz= a1b1d1

a2b2d2
a3b3d3

Ejemplos:Resolver los siguientes sistemas mediante determinantes:
a)
3x - y + 4z = 4
4x + 4y - 3z = 3
2x + 3y + 2z = -4

El sistema ya está en su forma general, por lo que ya podemos calcular los determinantes.

Ds= =[(3)(4)(2)+(4)(3)(4)+(2)(-1)(-3)]-[(4)(-1)(2)+(3)(3)(-3)+(2)(4)(4)]
= [24+48+6]-[-8-27+32]
= [78]-[-3]=78+3
= 81

Dx= =[(4)(4)(2)+(3)(3)(4)+(-4)(-1)(-3)]-[(3)(-1)(2)+(4)(3)(-3)+(-4)(4)(4)]
= [32+36-12]-[-6-36-64]
= [56]-[-106]=56+106
= 162

Dy = =[(3)(3)(2)+(4)(-4)(4)+(2)(4)(-3)]-[(4)(4)(2)+(3)(-4)(-3)+(2)(3)(4)]
= [18-64-24]-[32+36+24]
= [-70]-[92]=-70-92
= -162

Dz= =[(3)(4)(-4)+(4)(3)(4)+(2)(-1)(3)]-[(4)(-1)(-4)+(3)(3)(3)+(2)(4)(4)]
= [-48+48-6]-[16+27+32]
= [-6]-[75]= -6-75
= -81

Entonces:
x=Dx /D5=162 / 81= 2

y=Dy / D5=-162 /81= -2

z=Dz /D5= -81 / 81= -1

La solución del sistema es:
x=2
y=-2
z=-1