Unidad 2 plano cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.
La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x y uno de las y, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas.
Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes.
El primer cuadrante es la región a la derecha del eje de las ordenadas y arriba del eje de las abscisas. Este cuadrante se conoce como el Cuadrante I, aquí se ubicarán las coordenadas (+,+).
El Cuadrante II se encuentra en la región a la izquierda del eje de la ordenada y arriba del eje de las absisas, en ese lugar se hallan las coordenadas (-, +).
El Cuadrante III se encuentra debajo de la abscisa, a la izquierda de la ordenada y sus coordenadas son (-, -).
El Cuadrante IV se encuentra debajo de la abscisa, a la derecha de Ia ordenada y sus coordenadas son (+,-).

Clasificacion de los numeros

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:

Números naturales
Número primo
Números compuestos
Números perfectos
Números enteros
Números pares
Números impares
Números racionales
Números reales
Números irracionales
Números algebraicos
Números trascendentes
Números hiperreales
Números complejos
Cuaterniones
Números infinitos
Números transfinitos
Números negativos
Números fundamentales: π y e

Tipos de numeros

Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos y el cero (0) obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros (irracionales), obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos, hiperreales y transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son π (Pi) y el número e (base de los logaritmos naturales) los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Tipos de numeros

Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos y el cero (0) obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros (irracionales), obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos, hiperreales y transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son π (Pi) y el número e (base de los logaritmos naturales) los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Conversion de cualquier base a decimal.

Conversión de base n a decimal.

Para pasar un número de cualquier base a decimal utilizaremos lo que se denomina el peso del número que no es ni más ni menos que el orden que ocupa comenzando por la derecha con el valor 0, pero para entenderlo mejor utilizaremos la siguiente formula:

N= an*bn+.....+a1*b1+a0*b0

Con lo que a cada dígito del número que deseamos convertir le tenemos que multiplicar la base a la que deseamos pasar elevada a la potencia del lugar que ocupa. Esta operación se realizará para cada uno de los dígitos del número, sumando al finalizar los resultados, con lo que obtendremos el número en base decimal.

Conversiones entre los sistemas de numeracion.

CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y DECIMAL

Si la conversión es de octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo:

740₈= 7.8²+4.8¹+4.8⁰ = 484₁₀

Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la conversión de decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el siguiente ejemplo:

426₁₀ = 652₈

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y HEXADECIMAL

La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo siguiente:

Sistema binario Sistema Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

Ejemplo: 1011111,1100012 Agrupando obtenemos el siguiente resultado: 0101 1111, 1100 01002 Sustituyendo según la tabla logramos la conversión esperada: 5F, C416

La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo:

69DE₁₆= 0110 1001 1101 1110₂

Conversiones entre los sistemas de numeracion.

CONVERSIONES

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL

Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

101111₂ = 1.2⁵+0.2⁴+1.2³+1.2²+1.2¹+1.2⁰ = 45₁₀

10101₂= 1.2⁴+0.2³+1.2²+0.2¹+1.2⁰ = 21₁₀

Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:

Nº Decimal Base Cociente Resto 107 2 53 1 53 2 26 1 26 2 13 0 13 2 6 1 6 2 3 0 3 2 1 1 10710= 11010112

Cuando tengamos un número con decimales seguiremos el siguiente procedimiento: multiplicaremos por 2 la parte decimal y se toma como dígito binario su parte entera. El proceso se repite con la fracción decimal resultante del paso anterior, hasta obtener una fracción decimal nula, o bien hasta obtener el número de cifras binarias que se desee. Ejemplo: 107,645. Como anteriormente convertimos 107 a binario, el resultado de la conversión quedaría así: 1101011, 101001012

Fracción decimal Multiplicado por: Resultado Dígito binario 0,645 2 1,290 1 0,290 2 0,580 0 0,580 2 1,160 1 0.160 2 0,320 0 0,320 2 0.64 0 0.64 2 1.28 1 0.28 2 0.56 0 0.56 2 1.12 1

Opéraciones de suma y resta en binario

La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+	0	1
0	0	1
1	1	0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda.

Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

-	0	1
0	0	1
1	1 + 1	0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 2₁₀ – 1₁₀ = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.

Teorema fundamental de la numeracion.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN

El teorema fundamental de la numeración dice:

“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración, viene dado por la fórmula:

... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”

donde X es el dígito y B la base.

Ejemplo:

Supongamos la cantidad 3221,034 esta expresada en base 4 (ver subíndice al final de la cantidad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?

3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 1 * 40 + 0 * 4-1 + 3 * 4-2 =

3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 + 0 * 0,25 + 3 * 0,0645 = 233,1875

Sistemas de numeracion.

Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números.

El sistema habitual de numeración para las personas es el Decimal, cuya base es diez y corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras que el método habitualmente utilizado por los sistemas electrónicos digitales es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para representar la información: el 0 y el 1.

Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en las computadoras.

Ley de los exponentes

Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación

Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo, . La notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.

Primera Ley de los Exponentes.

Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.

Considera que m y n son enteros positivos:
Xn + Xm = Xn+m


Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas

Segunda Ley de los Exponentes.

Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos: (Xm)n = Xm*n
Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los exponentes.

Tercera Ley de los Exponentes.

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir

Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores.

Simbólicamente: (AB)n = An Bn

Ley de los signos en la multiplicasion y division

Leyes de los signos para la multiplicación o producto

El producto de elementos con signos iguales es un elemento positivo.
-a(-b) = ab
x(y) = xy

El producto de elementos con signos diferentes es un elemento negativo.
a(-b) = -ab
-x(y) = -xy

Leyes de los signos para la división
El cociente de elementos con signos iguales es un elemento positivo.
a÷b = -a÷-b

El cociente de elementos de signos diferentes es un elemento negativo.
-a÷b = a÷-b

Teorema del binomio al cuadrado y al cubo

Binomio al cuadrado

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2



Binomio Suma al Cubo
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

PROGRAM SINTETICO DE MATEMATICAS 1

UNIDAD 1
Numeros reales y sistemas numericos.

unidad 2
sistemas de ecuasiones lineales.

unidad 3
matrices.

unidad 4
desigualdades.