jueves, 23 de octubre de 2008

Ejemplo por determinates

Método de determinantes
Ahora tenemos que aprender a calcular un determinante de 3x3 (3 renglones por 3 columnas).
Es muy sencillo, fíjate bien, lo explicaremos con un ejemplo.
Calcular el siguiente determinante

5 3 -2
2 -2 -4
3 -5 1
Primero se vuelve a escribir el determinante copiando los dos primeros renglones abajo del último renglón.

5 3 -2 5 3 -2
2 -2 -4 2 -2 -4
3 -5 1 = 3 -5 1
- - - - - - - -
5 3 -2
2 -2 -4

Después, se realizan los tres productos indicados hacia abajo desde el 1er número del 1er renglón y se restan los productos indicados hacia arriba empezando por el 1er número del último renglón.
= [(5)(-2)(1)+(2)(-5)(-2)+(3)(3)(-4)]-[(2)(3)(1)+(5)(-5)(-4)+(3)(-2)(-2)]
= [-10+20-36]-[6+100+12]=[-26]-[118]
=-26-118
=-144
Las fórmulas para encontrar el valor de las variables del sistema.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

son:

x=Dx / Ds;

y=Dy / Ds;

z=Dz / Ds;

donde:
Ds= a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3 Dx= d1b1c1
d2b2c2
d3b3c3
Dy= a1d1c1
a2d2c2
a3d3c3 Dz= a1b1d1
a2b2d2
a3b3d3

Ejemplos:Resolver los siguientes sistemas mediante determinantes:
a)
3x - y + 4z = 4
4x + 4y - 3z = 3
2x + 3y + 2z = -4


El sistema ya está en su forma general, por lo que ya podemos calcular los determinantes.

Ds= =[(3)(4)(2)+(4)(3)(4)+(2)(-1)(-3)]-[(4)(-1)(2)+(3)(3)(-3)+(2)(4)(4)]
= [24+48+6]-[-8-27+32]
= [78]-[-3]=78+3
= 81


Dx= =[(4)(4)(2)+(3)(3)(4)+(-4)(-1)(-3)]-[(3)(-1)(2)+(4)(3)(-3)+(-4)(4)(4)]
= [32+36-12]-[-6-36-64]
= [56]-[-106]=56+106
= 162

Dy = =[(3)(3)(2)+(4)(-4)(4)+(2)(4)(-3)]-[(4)(4)(2)+(3)(-4)(-3)+(2)(3)(4)]
= [18-64-24]-[32+36+24]
= [-70]-[92]=-70-92
= -162



Dz= =[(3)(4)(-4)+(4)(3)(4)+(2)(-1)(3)]-[(4)(-1)(-4)+(3)(3)(3)+(2)(4)(4)]
= [-48+48-6]-[16+27+32]
= [-6]-[75]= -6-75
= -81
Entonces:
x=Dx /D5=162 / 81= 2

y=Dy / D5=-162 /81= -2

z=Dz /D5= -81 / 81= -1

La solución del sistema es:
x=2
y=-2
z=-1

Resolucion por determinantes

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

1.Determinantes de segundo y tercer orden.

Definición 1. Dada una matriz de orden dos , se llama determinante de la matriz al número que se obtiene así: a11a22 - a12a21.
Se representa det A ó ½A½.
Ejemplo 1:= 3-(-8) = 11.

Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22).
Se puede ver con detalle en Interpretación
Geométrica del determinante, usando el applet Descartes.

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

Procedimiento para realizar el metodo de gauss-jordan

Procedimiento:Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:
-3x+3y+2z=1
4x+y-z=1
x-2y+z=3
Y se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:



El objetivo de este metodo es tratar de convertir la parte de la matriz donde estan los coeficientes de las variables en una matriz identidad que es una matriz con puros 0 y 1 pero los 1 estan en diagonal asi:




Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicacion.Entoces, si se quiere convertir la primera matriz en la segunda, se puede observar que el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, segun la matriz identidad, asi que hay que dividir entre -3, pero como una operacion se aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre -3 y queda mas o menos asi:





Despues, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del 1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumandola a la fila de abajo, en este caso, si se multiplica por -4 la fila de arriba, la primera multiplicacion es -4x1, que sumado a la primera coordenada de la fila de abajo da el 0 que se desea, igualmente, la operacion se realiza con toda la fila por lo que a cada posicion de la fila de arriba se le multiplica por -4 y se suma con la correspondiente posicion de la fila de abajo. La siguiente multiplicacion seria -4x-1 y se sumaria con el 1 de abajo. La matriz va quedando de la siguiente manera:



En la imagen de al lado ya se termino de hacer 0 las posiciones que se requieren segun lo indica la matriz identidad.(Las R son por Row en ingles)

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iria en donde esta el 5 en la segunda fila. Como ya se trabajo con la primera columna ya no es necesario tomarla en cuenta puesto que se supone que ya esta bien.Para lograr un 1, hay que dividir toda la segunda fila (sin tomar en cuenta la primera columna) entre 5 y la matriz queda asi:



Despues se tienen que hacer 0 los que estan arriba y abajo del 1, que en este caso seria, para el que esta arriba 1xR2+R1 porque el R1 es un -1 y al sumarse con el 1 que da de la multiplicacion de 1xR2 da el 0 que se esta buscando.De igual manera para el que esta debajo es el mismo procedimiento porque en este ejemplo coincidio que los 2 fueran -1, pero hay que recordar siempre buscar el numero por el cual multiplicar para que a la hora de sumar de un 0.




Una vez que se obtuvieron los 0 solo falta obtener el ultimo 1 segun la matriz identidad. Esto se logra dividiendo entre 2 toda la tercera fila ignorando ya los que fueron hechos ceros.La matriz queda de la siguiente manera:


Por ultimo solo se hacen 0 los que estan encima del que acabamos de hacer 1, en este caso multiplicando por 1/3xR3 y sumandola a R1 para hacer el 0 que se necesita, y multiplicando -1/3xR3 y sumandolo a R2 para obtener el ultimo 0:



Como se podra notar, una matriz identidad siempre es cuadrada y al pasarla a nuestra matriz original sobro la columna donde iban los resultados de cada ecuacion, pues bien, esa ultima columna contiene los valores de las variables que se estan buscando y en orden, la de arriba es la primer variable, la de enmedio es la segunda y la ultima es la tercera.

Metodo de eliminacion gauus-jordan

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. La principal diferencia consiste en que método de Gauss-Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular.

Por consiguiente, no es necesario emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución.




Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:
Ecuación con centro (0,0)

Ecuación con centro desplazado del origen de coordenadas

Siendo (h,k) el centro.

Hipérbolas con asíntotas diagonales

Hiperbola



En matemáticas, una hipérbola (del griego ὑπερβολή,) es una sección cónica obtenida al cortar un cono recto con un plano (no paralelo a la generatriz) de forma que se intersequen ambas ramas del cono.


Se puede caracterizar también como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los mismos.


La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[1] donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.[2]
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,[3] considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Circulo


Círculo

Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. En castellano, la palabra círculo[1] tiene varias acepciones, la primera: es una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida, mientras que se denomina circunferencia[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."[3]


Elementos del círculo [editar]

El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales.
El circulo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:

Puntos
Centro del circulo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Rectas y segmentos

Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.
Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto.

Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo.

Superficies

El circulo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos: los arcos y sus cuerdas.
Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
Corona circular: es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas.

Elipse


Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.


Si F y F' son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia FF', un punto M pertenecerá a la elipse, si:

FM `+ F'M =d=2a

donde es el semieje mayor de la elipse.


Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB, y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto puede estar ubicado en cualquier lugar de la «elipse».
La longitud desde al punto sumada a la longitud desde a ese mismo punto , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor», trazo AB.
A las rectas correspondientes a los trazos y , se las llama «radios vectores». Los dos «focos» equidistan del centro .

jueves, 16 de octubre de 2008

Funciones cuadraticas



Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:


donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.

la representación gráfica en el plano xy haciendo:


esto es:


es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

funcion lineal



Una función lineal de una variable real es una función matemática de la forma:


donde m y b son constantes.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente


que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

m es denominada la pendiente de la recta.
b es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x= 0.

Variacion y Varicion directa

Existen dos tipos de variación: variación directa y variación inversa. Veamos cada una de ellas:

Variación Directa = es una función que se define por una ecuación que está en la forma y = kx , donde k es una constante no igual a cero. La variable y varía directamente de x. La constante k es llamada la constante de variación. La variación directa establece un único valor de y para cada valor de x. En la variación directa las dos variables aumentan (o disminuyen) juntas. Cuando el dominio es un conjunto de números reales, la gráfica de la variación directa es una línea recta con pendiente k que pasa por el origen.



Variación Inversa = es una función que se define por una ecuación que está en la forma y = k/x, donde x no es igual a cero. La variable y varía a la inversa de x. En la variación invesa el aumento de una de las variables significa la disminución de la otra variable. La gráfica de esta variación es una hipérbola.

Variacion y varicion directa

martes, 14 de octubre de 2008

Funciones.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X Y
-1 1
0 0
1/2 1/4
1 1
2 4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

Inecuación y sus propiedades

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un juego de inecuaciones.Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Propiedades [editar]Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:


Tricotomía [editar]La propiedad de la tricotomía dicta que:

Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a < b
a = b
a > b

Simetría [editar]Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b:
Si a > b entonces b < a
Si a < b entonces b > a
>(mayor que)
<(menor que)

Adición y sustración [editar]Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
Si a < b; entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Multiplicación y división [editar]Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si c es positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Si c es positivo y a < b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a > b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a < b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.

propiedades de desigualdades

Propiedades de las desigualdades.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m



Ejemplos:

9 > 5
9 + 2 > 5 + 2
11 > 7

-2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9


Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21

15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5



3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60

64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20


Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x


4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2


Ejemplo:

7 < 10
73 < 103
343 < 1000


5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3

En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2


Ejemplos:

-3 > -6
(-3)3 > (-6)3
-27 > -216

-8 < -4
(-8)2 > (-4)2
64 > 16



6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:

a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"


Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36


7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b
d > c

---------------

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d



Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4

Desigualdades Matematicas

El campo de los números reales posee la propiedad de orden, es decir tiene lugar la tricotomía de los números reales,a saber que para todo par a , b tiene lugar una y solo una de las tres relaciones siguientes: a > b , a < b , a = b .

Donde a > b significa por definición que a - b es positivo, mientras que a < b significa por definición que a - b es negativo. En símbolos, por definición:
A>B-----A-B>0

A
Por definición a las relaciones a > b y a <> y < los signos de relación de orden. De la definición mis -ma de desigualdad de inmediato se concluye que:

1. Todo número positivo es mayor que cero. En símbolos: p>0

2. Todo número negativo es menor que cero. En símbolos: N<0

3. Todo número positivo p es mayor que cualquier número negativo n.
en simbolos: P>N

4. De 2 números negativos es mayor aquel,cuyo valor absoluto sea menor.

Sitemas de ecuaciones y sistema general


En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Sistema general
La forma genérica de un sistema de ecuaciones y incógnitas es la siguiente:

F1 (X1............Xn)=0

Fm(X1............Xn)=0


donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Ecuasiones de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática de una sola incógnita: Es aquella que contiene un término de segundo grado y cuya forma general es la siguiente:


ax2+bx+c=0
Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación.
Para solucionar una ecuación cuadrática se tiene dos métodos: Factorizar o usar la fórmula cuadrática

Método de factorización:

1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente.

2.- Factoriza.

a. Iguala a cero cada factor.

b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución.
Por ejemplo: si tenemos 6x²-7x = 3
Entonces, igualando a ceros tenemos 6x²-7x - 3 = 0
Para factorizar podemos tantear los siguientes factores:
(2x ± 3)(3x ± 1)

Ya que vemos que (2x)(3x) = 6x² y el último término es -3 por lo que podemos suponer que los segundos términos de cada factor es -3 y +1. Finalmente la factorización correcta es (2x - 3)(3x + 1) = 0.

La solución de la ecuación es cuando cada factor es igual a cero, ya que la ecuación es igual a cero.
2x - 3 = 0, por lo que 2x = 3
x = 3/2
3x + 1 = 0, por lo que 3x = -1
x = 1/3

Por ejemplo: si tenemos 4x²+12x = 7
Por inspección vemos que el lado izquierdo de la ecuación sería un cuadrado perfecto si tuviera un nueve. Vamos a agregar el 9 a ambos lados:
4x² +12x + 9 = 7 + 9
(2x + 3²) = 16
2x + 3 = ± √ 16 = ± 4
2x + 3 = 4, 2x = 1, x = 1/2
2x + 3 = -4, 2x = -7, x = -7/2

Método de la fórmula cuadrática.

Si es dificil factorizar, entonces siempre puedes resolver cualquier ecuación cuadrática utilizando la fórmula:

X= _-b__B2-4AC_
2A